Plano de aula

Assunto: Equação do segundo grau na resolução de problemas

 

1- Comentários

Este Plano de Aula foi elaborado com o intuito de mostrar ao aluno algumas das importantes aplicações da equação do segundo grau, reforçando as habilidades e competências adquiridas nas diferentes possibilidades metodológicas de resolvê-la. Portanto, espera-se que o aluno já tenha tido, em aulas anteriores, atividades relacionada ao conhecimento e emprego dos métodos de aplicação na resolução de equações do segundo grau, como a aplicação da fórmula de Bháskara, cálculo mental, fatoração  e método da soma e produto das raízes.


2- Objetivo Geral

- Compreender o emprego das equações do segundo grau e, através delas, resolver situações-problemas relacionados ao cotidiano do aluno.


3- Objetivos específicos

- Correlacionar competências adquiridas, como cálculo do perímetro e área e Teorema de Pitágoras à equações do segundo grau;

- Avaliar o método mais adequado para solucionar uma equação do segundo grau;

- Compreender a linguagem algébrica e saber utiliza-la na apresentação de problemas geométricos;

- Interpretar corretamente um texto e correlaciona-lo a uma situação que o utilize.

4- Anos

9º ano (8ª série)

5- Tempo estimado

350 minutos (7 horas/aulas)

 

6- Justificativa

Com este trabalho, o aluno exercita suas habilidades e competências relacionadas ao emprego de equações do segundo grau em outros conceitos matemáticos, como área e perímetro de figuras planas e o Teorema de Pitágoras. Analisando conceitos relacionados ao desenvolvimento de sua região e empregando os conhecimentos matemáticos adquiridos, o aluno exercita as habilidades relacionadas aos três grupos (Observar, Realizar e Compreender), como também desenvolve competências relacionadas à leitura e a escrita.
É importante que o aluno saiba resolver equações do segundo grau, mas, sobretudo é necessário que saibam aplicar este conceito em diferentes situações para que este conhecimento matemático seja construído e não esquecido.

7- Interdisciplinaridade

- Língua portuguesa (leitura e interpretação de texto, relato escrito de argumentação pessoal).

- Geografia (estudo do impacto da descoberta do pré-sal na baixada santista, prospecção de petróleo);

- Educação artística (desenvolvimento de trabalhos com EVA, isopor e outros recursos para apresentação de um trabalho).

 

8- Pré-requisitos necessários

 

- Potenciação;

- Radiciação;

- Fração;

- Perímetro e área;

- Unidades de medida;

- Produtos notáveis;

- Expressões numéricas;

- Números racionais;

- Uso de letras;

- Expressões algébricas;

- Resolução de equação do 1º grau;

- Resolução de equação do 2º grau;

- Teorema de Pitágoras;

- Semelhança e equivalência de figuras planas.

9- Linhas de Ação

9.1- Procedimento

As tarefas serão realizadas em equipes formadas por dois alunos, para que o trabalho seja colaborativo e haja interação e argumentação entre eles.

 

1ª etapa (duração de 1 aula):

O professor forma as equipes e entrega a cada uma um xérox do texto "Descoberta do pré-sal dobra valor de imóveis na Baixada Santista". Nele, o aluno encontra o impacto positivo que a descoberta de petróleo na chamada camada do pré-sal está acarretando na nossa região.
Assim, após a leitura, o professor pode entrar em um debate com as equipes, sugerindo, por exemplo, que benefícios pode um porto mais moderno trazer para nossa região, ou uma ponte interligando os municípios de Guarujá e Santos. Pode perguntar que tipo de números existem no texto e o que eles tentam explicar. Também pode pedir que o aluno descreva que obra ele acharia necessária para desenvolver a região e a comunidade onde mora.

 

2ª etapa (duração de 3 aulas):

O aluno recebe um roteiro de problemas relativos a uma construção residencial em uma das áreas favorecidas citada pelo texto lido na aula anterior. Vejamos como seria:

 

Vimos no texto que, com a descoberta do pré-sal, os preços dos imóveis na Baixada Santista praticamente dobraram. Vimos também que o metro quadrado de um imóvel residencial de um dormitório passou de R$ 2.602,00 para R$ 5.182,00 de agosto de 2006 a abril de 2011.

Imagine que você tenha comprado um terreno quadrangular aqui na Baixada Santista e, dentro dele, queira construir uma casa com o mesmo formato, de modo que a planta da casa apresente a forma aproximada da figura abaixo:

Assim, o engenheiro que projetou sua casa trouxe a você algumas características dela e dos cômodos que a ela pertencem. Nela, você percebe que o quarto e a cozinha são equivalentes, ou seja, apresentam a mesma área, enquanto a sala e o banheiro apresentam formas semelhantes, com o banheiro sendo menor que a sala. Além disso, foram fornecidas algumas dicas para você descobrir as medidas corretas da casa.

A primeira é que “a medida do perímetro da sala é igual a sua área”. Será que você consegue descobrir a medida dos lados da sala?

Observação: Caso necessário, sugira que o aluno utilize uma letra (X) como valor inicial dos lados da sala e que tentem utilizar os conhecimentos adquiridos nos cálculos de área e perímetro de figuras planas. Se houver necessidade, o professor deve fazer uma revisão destes conceitos.
Resolução:

 Supondo que X seja a medida dos lados da sala, teremos:

ÁREA DA SALA = PERÍMETRO DA SALA

X² = 4.X

X² – 4.X = 0, como é uma equação incompleta do segundo grau, podemos resolve-la por Bháskara ou pelo método:

X.(X – 4) = 0

X = 0 ou X – 4 = 0, de onde tiramos que X = 4.

Portanto, as medidas dos lados da sala são de 4 metros.

Agora que você já descobriu as medidas da sala, tente descobrir as medidas do banheiro também. Para isso, use a nova dica fornecida pelo engenheiro:

“o perímetro do quarto é o triplo da área do banheiro”.

Com essas informações e já conhecendo as medidas da sala, tente descobrir as medidas do banheiro.

Resolução:

 Supondo que Y seja a medida dos lados do banheiro, teremos:

PERÍMETRO DO QUARTO = 3.ÁREA DO BANHEIRO

4 + Y + 4 + Y = 3.Y²

3.Y² – 2.Y – 8 = 0

Resolvendo por Bháskara, temos:

Y = 2 ± √4 – 4.3.(-8)   =  2 ± √4 + 96

                   2.3                         6

Y = 2 ± 10

           6

Y₁ = 2 + 10 = 2

             6

Y₂ = 2 - 10 = - 8   ( essa resposta não convém, por ser negativa)

            6          6

Portanto, o banheiro apresenta lados medindo 2 metros.

Agora tente descobrir qual é a área e o perímetro de toda a casa.

Resolução:

ÁREA = (4 + 2)² = 6² = 36 m²

PERÍMETRO = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 metros

Agora que você já sabe a dimensão da sua casa, tente descobrir qual deve ser o preço dela, baseando-se nos valores orçados por metro quadrado.

Resolução:

Como o preço do metro quadrado é de R$ 5.182,00, teremos:

Valor da casa = 36. 5182,00 = 186.552 reais

Logo, o valor da casa é de aproximadamente R$ 187.000,00

 

Como qualquer residência, sua casa precisa ser protegida e, portanto, ela é contornada por um muro  e por um corredor que a circunda e que tem sempre a mesma largura, conforme mostrado na figura abaixo.

Sendo assim, qual deve ser a largura desse corredor se o terreno tem uma área de 144 m² ?

Resolução:

Supondo que Z  seja a largura do corredor a ser descoberto, teremos:

LADO DO TERRENO² = ÁREA DO TERRENO

(Z + 6 + Z)² = 144

(2.Z + 6)² = 144

4.Z² + 24.Z + 36 = 144

4.Z² + 24.Z – 108 = 0

Dividindo por 4 todos os membros para simplificar a equação e resolvendo por Bháskara, temos:

Z² + 6.Z – 27 = 0

Z = -6 ± √36 – 4.1.(-27)   =  -6 ± √144

                   2.1                             2

Z = -6 ± 12

           2

Z₁ = -6 + 12 = 3

             2

Z₂ = -6 - 12 = - 9  ( essa resposta não convém, por ser negativa)

             2         

Portanto, a largura do corredor é de 3 metros.

Para iluminar essa área, o engenheiro resolveu colocar dois postes localizados em dois vértices opostos da casa, conforme mostrado na figura abaixo. Qual a distância entre esses postes?
 

Resolução:

Supondo que D seja a distância entre os dois postes e, utilizando o Teorema de Pitágoras, teremos:

D² = 6² + 6²

D² = 36 + 36

D² = 72

D é aproximadamente 8,5 metros

Vimos que o engenheiro elaborou a casa de uma forma quadrada. Será que ele fez bem fazendo isso?

Para saber essa resposta, discuta entre sua equipe que forma deveria ter a casa para que, com o mesmo perímetro, ela tivesse o maior espaço interno possível, ou seja, a maior área para se morar e, assim, otimizando o custo do material a ser construído, já que com a mesma dimensão de parede e, por consequência de tijolos, se construiria uma casa com um espaço maior. Forme argumentos que possam comprovar isso.

Resolução:

Supondo que a casa tivesse uma forma retangular com seus lados medindo 4 metros e 8 metros. Assim, teríamos o mesmo perímetro encontrado na forma quadrada, ou seja, 24 metros, porém com uma área de 4.8 = 32 m².
 

No caso da casa ter lados medindo 5 metros e 7 metros, teríamos também o mesmo perímetro e com uma área de 5.7 = 35 m².
 

Assim, podemos constatar que a forma quadrada da casa possibilita que ela tenha a maior área possível com o mesmo perímetro, otimizando seu espaço.
 

Neste ponto, o aluno pode também perceber que quanto mais “longe” de um quadrado está a forma da figura, menor é a sua área.

 

3ª etapa (duração de 3 aulas):

Agora, é sugerido às equipes que pesquisem em casa a biografia de uma pessoa famosa e que tragam um resumo bibliográfico dessa pessoa. Neste resumo bibliográfico, deve conter dois números de valor baixo. No caso, sugeri que fosse pesquisada a vida e obra de Albert Einstein. Isto possibilita um processo de leitura, investigação e interpretação de texto. Houve uma aula a disposição na sala para que os alunos analisassem os textos trazidos e elaborassem os resumos.

 

Na sala de aula, as equipes foram instruídas a construírem a equação do segundo grau que, sendo resolvida, forneceria os números que eles tinham utilizados no resumo. Estes números estariam ocultos no resumo e, no final deste, as equipes deveriam convidar quem lesse a tentar resolver a equação do segundo grau e, através de suas raízes, completarem a história da vida do grande cientista.
 

 

 

 

 

Assim, os alunos realizaram o processo de formulação onde, através das raízes, descobriram a equação. No seu trabalho, as equipes também deveriam mostrar como, partindo das raízes, chegaram ao equacionamento e desenvolver a própria equação sugerida, provando que ela de fato tem como solução os números contidos no resumo bibliográfico.

Por fim, foi solicitado que as equipes fizessem seus trabalhos em um material apropriado para exposição, para que eles pudessem servir de desafio as demais equipes que estariam assistindo a apresentação. Isto possibilita uma avaliação adicional, tanto individual, como das equipes, além de proporcionar uma forma de recuperação de algumas competências perdidas.

 

 

9.2- Recursos materiais e tecnológicos necessários

Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:

- Lousa e giz;

- Xerox das atividades e do texto proposto.


9.3- Avaliação

A observação do professor nas atividades privilegiam a participação e o envolvimento do aluno na proposta a ser aplicada. Além disso, a avaliação contínua acompanha e promove o desenvolvimento pessoal e coletivo na resolução dessas atividades, dispensando qualquer processo formal de avaliação, como prova, chamada oral, etc. Dessa forma, tanto o professor quanto os alunos saberão suas dificuldades, como também seus progressos.

 

10- Sugestões Finais

Caso haja necessidade de um reforço dos conceitos de resolução de equações do 2º grau, desenvolver entre os grupos uma atividade preliminar de uma ou duas aulas utilizando-se do emprego de “dominós com esses conteúdosdidáticos”, utilização de vídeos ou sites relacionados que resolvem a equação online.